До нас дошла римская система записи чисел

Применяется более 2500 лет.

В качестве цифр в ней используются латинские буквы:

Например:

CXXVIII = 100 +10 +10 +5 +1 +1 +1=128

Позиционной называют систему счисления, в которой количественное значение цифры зависит от ее положения в числе.

Вавилонская система счисления

Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной , то есть в ней использовалось шестьдесят цифр!

Числа составлялись из знаков двух видов:

Единицы – прямой клин

Десятки – лежачий клин

Позиционные системы счисления

Наиболее распространенными в настоящее время являются

Десятичная - двоичная

Восьмеричная

-шестнадцатеричная позиционные системы

счисления.

Десятичная система

счисления

Любое число мы можем записать при помощи десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Именно поэтому наша современная система счисления называется

десятичной.

Известный русский математик Н.Н.Лузин так выразился по этому поводу:

«Преимущества десятичной системы счисления не математические, а зоологические. Если бы у нас было на руках не десять пальцев, а восемь, то человечество бы пользовалось восьмеричной системой счисления.»

Десятичная система счисления

Хотя десятичную систему счисления принято называть арабской , но зародилась она в Индии , в V веке.

В Европе об этой системе узнали в ХII веке из арабских научных трактатов, которые были переведены на латынь.

Этим и объясняется название «Арабские цифры».

Однако широкое распространение в науке и в обиходе десятичная система счисления получила только в XVI веке. Эта система позволяет легко выполнять любые арифметические вычисления, записывать числа любой величины. Распространение арабской системы дало мощный толчок развитию математики.

Арабская нумерация

Возобладала при Петре I

Как видоизменялись цифры, употреблявшиеся арабами , пока они не приняли современные формы:

Была придумана задолго до появления компьютеров. Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г. В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными

числами. Ее недостаток – «длинная» запись чисел.

В настоящий момент – наиболее употребительная в информатике, вычислительной технике и смежных отраслях система счисления. Использует две цифры:

0 и 1

Свернутая форма записи числа: 101 2

Развернутая форма: 101 =1*22 +0*21 +1*20

Все числа в компьютере представляются

с помощью нулей и единиц, т. е. в двоичной системе счисления.

Позиционная система счисления

За основание позиционной системы можно принять любое натуральное число больше единицы.

Основание системы, к которой относится число, обозначается подстрочным индексом к этому числу.

1110010012

356418

43B8D16

Пример : основание десятичной системы счисления =10

Слайд 1

Текст слайда:

ИСТОРИЯ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

Слайд 2

Текст слайда:

Вавилонская шестидесятеричная система

За две тысячи лет до нашей эры, в другой великой цивилизации – вавилонской – люди записывали цифры по-другому.
Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов:
Прямой клин (служил для обозначения единиц)

Лежачий клин (для обозначения десятков)

Число 60 обозначалось знаком, что и 1

Слайд 3

Текст слайда:

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков («цифр») соответствовало чередованию разрядов:

Значение числа определяли по значениям составляющих его «цифр», но с учетом того, что «цифры» в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же «цифр» в предыдущем разряде.

Слайд 4

Текст слайда:

1. Число 92 = 60 + 32 записывали так:

2. Число 444 имело вид:

НАПРИМЕР:

444 = 7*60 + 24. Число состоит из двух разрядов

Слайд 5

Текст слайда:

Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения.
Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятичного разряда, что соответствует в десятичной системе появлению цифры 0 в записи числа.

Число 3632 записывалось так:

В конце числа этот символ обычно не ставился.
Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. сделать это было практически невозможно. При вычислениях они пользовались готовыми таблицами умножения.

Слайд 6

Текст слайда:

Шестидесятеричная вавилонская система – первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд.
Окружность мы делим на 360 частей (градусов).

Слайд 7

Текст слайда:

РИМСКАЯ СИСТЕМА

В римской системе для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M (соответственно), являющиеся «цифрами» этой системы счисления. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр».

Слайд 8

Текст слайда:

Слайд 9

Текст слайда:

Календарь на каменной плите (3 – 4 вв.), найденный в Риме

1 из 31

Презентация - Системы счисления

Текст этой презентации

Тема «Системы счисления»

Введение
Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами - они с нами везде. Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах, начиная с вычислений учениками младших классов, выполняемых карандашом на бумаге, заканчивая вычислениями, выполняемыми на суперкомпьютерах.

Система счисления – это определённый способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над ними. Цель создания системы счисления- выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.
История систем счисления
Системы счисления
Позиционные
Непозиционные

Древние системы счисления:
Единичная система Древнегреческая нумерация Славянская нумерация Римская нумерация

Позиционные и непозиционные системы счисления
Непозиционные системы Позиционные системы
От положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Основание – количество используемых цифр. Позиция – место каждой цифры.

Запись числа в позиционной системе счисления
Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена: Хs=An · Sn-1 + An-1 · Sn-2 + An-2 · Sn-3 +...+ A2 · S1 + A1 · S0 где S - основание системы счисления, А – цифры числа, записанного в данной системе счисления, n - количество разрядов числа. Так, например число 629310запишется в форме многочлена следующим образом: 629310=6·103 + 2·102 + 9·101 + 3·100

Примеры позиционных систем счисления:
Двоичная Система счисления с основанием 2, используются два символа - 0 и 1.
Восьмеричная Система счисления с основанием 8, используются цифры от 0 до 7.
Десятичная Система с основанием 10, наиболее распространённая система счисления в мире.
Двенадцатеричная Система с основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B.
Шестнадцатеричная С основанием 16, используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10 до 15.
Шестидесятеричная Система с основанием 60, используется в измерении углов и, в частности, долготы и широты.

История двоичной системы счисления
Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII - XIX вв.). Пропагандистом двоичной системы был знаменитый Г.В. Лейбниц. Он отмечал особую простоту алгоритмов арифметических действий в двоичной арифметике в сравнении с другими системами и придавал ей определенный философский смысл. В 1936 - 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.

Двоичная система счисления
Двоичная система счисления (бинарная система счисления, binary) - позиционная система счисления с основанием 2. Неудобством этой системы счисления является необходимость перевода исходных данных из десятичной системы в двоичную при вводе их в машину и обратного перевода из двоичной в десятичную при выводе результатов вычислений. Главное достоинство двоичной системы - простота алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления.

Сложение, вычитание, умножение и деление в двоичной системе счисления
Сложение Вычитание Умножение Деление
0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10. 0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 1 - 1 = 0; 10 - 1 = 1. 0 · 1 = 0; 1 · 1 = 1. 0 / 1 = 0; 1 / 1 = 1.

Двоичное кодирование в компьютере
В конце ХХ века, века компьютеризации, человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обраба- тываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде. В современные компьютеры мы можем вводить текстовую информацию, числовые значения, а также графическую и звуковую информацию. Количество информации, хранящейся в ЭВМ, измеряется ее «длиной» (или «объемом»), которая выражается в битах (от английского binary digit – двоичная цифра).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую
8
16

Заключение
Высшим достижением древней арифметики является открытие позиционного принципа представления чисел. Нужно признать важность не только самой распространенной системы, которой мы пользуемся ежедневно. Но и каждой по отдельности. Ведь в разных областях используются разные системы счисления, со своими особенностями и характерными свойствами.

Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
1 001 1 1
2 010 2 2
3 011 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10

Перевод двоичного числа в десятичное
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики: Х10= Аn·2n-1 + Аn-1·2n-2 + Аn-2·2n-3 +…+А2·21 + А1·20
Перевод чисел

Перевод восьмеричного числа в десятичное
Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики: Х10= Аn·8n-1 + Аn-1·8n-2 + Аn-2·8n-3 +…+А2·81 + А1·80
Перевод чисел

Перевод шестнадцатеричного числа в десятичное
Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики: Х10= Аn·16n-1 + Аn-1·16n-2 + Аn-2·16n-3 +…+А2·161 + А1·160
Перевод чисел

Перевод десятичного числа в двоичную систему
Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке. Пример: Число 2210 перевести в двоичную систему счисления: 2210=101102
Перевод чисел

Перевод десятичного числа в восьмеричную систему
Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке. Пример: Число 57110 перевести в восьмеричную систему счисления: 57110=10738
Перевод чисел

Перевод десятичного числа в шестнадцатеричную систему
Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке. Пример: Число 746710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления: 746710=1D2B16
Перевод чисел

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную
Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-восьмеричной таблицей: Пример: Число 10010112 перевести в восьмеричную систему счисления: 001 001 0112=1138
8-ная 0 1 2 3 4 5 6 7
Перевод чисел

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную
Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр). Двоично-шестнадцатеричная таблица: Пример: Число 10111000112 перевести в шестнадцатеричную систему счисления: 0010 1110 00112=2E316
16-ная 0 1 2 3 4 5 6 7
16-ная 8 9 A B C D E F
Перевод чисел

Перевод восьмеричного числа в двоичное
Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой. Пример: Число 5318 перевести в двоичную систему счисления: 5318=101 011 0012
2-ная 000 001 010 011 100 101 110 111
8-ная 0 1 2 3 4 5 6 7
Перевод чисел

Перевод шестнадцатеричного числа в двоичное
Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой. Пример: Число ЕЕ816 перевести в двоичную систему счисления: ЕЕ816=1110111010002
2-ная 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
16-ная 0 1 2 3 4 5 6 7
2-ная 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
16-ная 8 9 A B C D E F
Перевод чисел

Перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно
При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему. Пример 1: Число FEA16 перевести в восьмеричную систему счисления: FEA16=1111111010102=111 111 101 0102=77528 Пример 2: Число 66358 перевести в шестнадцатеричную систему счисления: 66358=1101100111012=1101 1001 11012=D9D16
Перевод чисел

Единичная система
В древние времена, когда появилась потребность в записи чисел, количество предметов, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10–11 тысяч лет до н.э.). В такой системе применялся только один вид знаков – палочка. Каждое число обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу.
Древние системы счисления

Древнегреческая нумерация

Аттическая нумерация
Ионийская система
В третьем веке до н.э. аттическая нумерация была вытеснена ионийской системой.
В древнейшее время в Греции была распространена аттическая нумерация.
Древние системы счисления

Славянская нумерация
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок: («титло»). Для обозначения тысяч перед числом (слева внизу) ставился особый знак.
Z
Древние системы счисления

Римская нумерация
Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем «римской нумерации». Мы пользуемся ей для обозначения веков, юбилейных дат, наименования съездов и конференций, для нумерации глав книги или строф стихотворения.
I - 1 V - 5 X - 10 L - 50 C - 100 D - 500 М - 1000
Запись цифр в римской нумерации:
Древние системы счисления

Ионийская система
Обозначение чисел в ионийской системе нумерации

Обозначение чисел в древнеславянской системе нумерации
Славянская нумерация

Код для вставки видеоплеера презентации на свой сайт:

Возникновение чисел Сложно сказать, когда, а главное, как человек научился считать (так же, как невозможно доподлинно выяснить, когда, а главное, как возник язык). Известно только, что все древние цивилизации уже имели свои системы счёта, значит, история чисел и система счисления зародились в доцивилизационное время. История чисел и систем счисления начались с разделения понятий «один», «два», «много». Люди, научившись выделять один объект из всех остальных, произносили: «один», а если предметов было больше - «много». Однако уже в самых древних известных цивилизациях были разработаны более детальные системы счисления. Со временем, развитие цивилизованных поселений «заставляло» людей заниматься письменностью и математикой, так как в жизни появлялось все больше и больше информации и ее нужно было эффективней осваивать, а не считать до двух. Были придуманы специальные знаки для записи чисел. Они выполняли роль цифр и были удобны для чтения, но для их записи требовалось немало времени.

Вавилонская система счисления Вавилонская (месопотамская) система счисления – шестидесятиричная. До сих пор в часе 60 минут, а в минуте – 60 секунд. Потому год делится на число месяцев, кратное 60, а день делится на такое же число часов. Изначально это были солнечные часы, то есть каждый из них составлял 1/12 светового дня. Много позже длительность часа стали определять не по солнцу и добавили 12 ночных часов. Вавилонские цифры были составными и записывались как числа в десятеричной не позиционной системе счисления. Аналогичный принцип использовали индейцы Майя в своей двадцатеричной позиционной системе счисления. Для понимания записи числа между вавилонскими цифрами необходимы «пробелы».

Древнеегипетская система счисления В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз. В основе древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Ученые относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной. Число 345 древние египтяне записывали так: , где - единицы, - десятки, - сотни

Римская система счисления Римская система счисления - непозиционная система счисления, в которой для записи чисел используются буквы латинского алфавита. Для записи больших чисел необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц. Если большая цифра стоит перед меньшей, то они добавляются (принцип сложения), если же меньшая – перед большей, то меньшая вычитается (принцип вычитания). Например, VI = 5 + 1 = 6 IV = 5 - 1 = 4 XIX = 10 + 10 – 1 = 19 ХХI = 10 + 10 + 1 = 21 В настоящее время римская система счисления применяется для обозначения: веков (XV век и т.д.), годов н. э. (MCMLXXVII т. д.) и месяцев при указании дат (например, 1. V.1975) порядковых числительных производных больших порядков: yIV, yV и т.д. валентности химических элементов

Кириллическая (славянская) система счисления - отдельная буква соответствовала каждой цифре (от 1 до 9), каждому десятку (от 10 до 90) и каждой сотне (от 100 до 900). Чтобы читающий понимал, что перед ним цифры, применяли специальный знак – титло. Изображался он в виде волнистой линии и помещался над буквой. Назывался «аз под титло» и означал единицу. Кириллическая система счисления Не все буквы алфавита использовались в качестве цифр. Например, «Б» и «Ж» в цифры не обращались, т.к. их не было в древнегреческой азбуке, которая лежала в основе цифровой системы. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию

Арабская система счисления Арабская система счисления состоит из десяти символов: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, с помощью которых записывается в десятичной системе счисления любое число. Арабские цифры возникли в Индии и в 10-13 вв. были занесены в Европу арабами (отсюда и название). «Арабские» цифры являются изобретением стекольщика - Геометрика. Он считал, что девяти цифрам нужно придать форму, которая соответствовала бы их значению и предлагал для этого фигуры с соответствующим количеством углов. Если сделать определенные перемещения этих фигур, то они вместе составят арабское выражение: Моя цель – вычисление (араб.) Данные символы и способ их использования европейцы заимствовали в Средние века в мусульманских математиков (уровень математики арабских стран в то время был выше, чем у европейцев), отсюда и происходит название арабские цифры. На самом деле арабы переняли их у индейцев. Арабская система счисления является позиционной – вес каждой цифры определяется положением в числе.

Системы счисления Система счисления - запись чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют цифрами (способ кодирования числовой информации) . Системы счисления делятся на: позиционные непозиционные К позиционным системам счисления относятся двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Здесь любое число записывается последовательностью цифр соответствующего алфавита, причем значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в этой последовательности. Например, в записи 555, сделанной в десятичной системе счисления, использована одна цифра 5, но в зависимости от занимаемого ею места она имеет разное количественное значение – 5 единиц, 5 десятков или 5 сотен. Непозиционные системы счисления - это такие системы, в которых значение цифры не зависит от ее положения в числе (римская система счисления).

Позиционные системы счисления В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы с основаниями два, десять, восемь и шестнадцать являются позиционными системами счисления. Продвижением цифры называют её замену на следующую по величине. Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3. Продвижение старшей цифры в десятичной системе (это цифра 9) означает замену её на 0. Примеры первых десяти цифр в разных системах счисления: Двоичная: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001. Десятичная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Восьмеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11. Шестнадцатеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (числа от 10 до 15 в шестнадцатеричной системе изображаются буквами A, B, C, D, E, F). Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления относятся к классу машинных систем счисления.